गणित में भगवान और अनंत के लिए कोई जगह नहीं है? (शून्‍य से अनंत की ओर...)

१,२,३,४,५,.......
1,2,3,4,5,......
I,II,III,IV,V,......

अंक, संख्याये, हर किसी के जीवन का एक अनिवार्य भाग! मानव इतिहास से जुड़ा हुआ एक ऐसा भाग जो किसी ना किसी ना किसी रूप मे हमेशा मौजूद रहा है, चाहे वह हड्डीयो पर बनाये आदिम चिह्न, दिवारो पर बनाये हुये टैली चिह्न,  किसी धागे मे बंधी हुयी गांठे, भेडो़ की गिनती के लिये रखे गये छोटे पत्त्थर या आधुनिक लिपि के भारतीय अंतराष्ट्रीय अंक!

जब अंको की, संख्या की चर्चा चल पडी है, चर्चा का प्रारंभ तो इसके उद्गम से होना चाहिए ना! मेरा आशय अंको के इतिहास से नही है, मेरा आशय सबसे प्रथम अंक से है। सबसे प्रथम अंक कौन सा है? शून्य (0) या एक (1) ?

एक (1) सभी जानते है, यह ईकाई है। हर गिनती की शुरुवात इसी से होती है, तो सबसे प्रथम ’एक’ ही होगा। यह क्या ? प्रथम शब्द तो स्वयं ही एक से जुड़ा है। सबसे प्रथम अंक कौनसा है? प्रश्न को थोड़ा बदला जाये! सबसे प्रारंभिक अंक कौनसा है?

क्या शून्य को प्रथम अंक माना जाये?

लेकिन शून्य क्या है? किसी की भी अनुपस्थिति को शून्य कहते है। सबसे बड़ा प्रश्न यही है कि क्या शून्य अपने आप मे अंक या संख्या है?

गणितज्ञो की माने तो शून्य एक संख्या है। दार्शनिको की माने तो शून्य निराकार है, भगवान है! लेकिन हमारे प्रश्न का क्या ? क्या शून्य से प्रारंभ किया जा सकता है?

किसी भी की अनुपस्थिति अवश्य ही एक प्रारंभिक बिंदु हो सकती है! जिस किसी ने भी शून्य की कल्पना कर उसे प्रयोग मे लाया होगा निश्चय ही वह एक महान दार्शनिक रहा होगा, एक ऐसी खोज जिसका अस्तित्व ही नही है, एक ऐसा अंक जो होता ही नही है, एक ऐसा अंक जो उपस्थिति का नही अनुपस्थिति का प्रतीक है!

यह तय रहा कि गिनती का प्रारंभ शून्य से होगा, एक से नही!  कक्षा मे कोई विद्यार्थी नही है, अर्थात शून्य विद्यार्थी है। प्रथम विद्यार्थी कक्षा मे आया, अब विद्यार्थी संख्या एक है। आप क्या सोचते है?

प्रारंभ तो हो गया!

गिनती का अंत कहां होता है?

सबसे बड़ा अंक कौनसा है ? क्या आप सबसे बड़े अंक को जानते है ? यदि आपकी जानकारी का सबसे बड़ा अंक N है, तो निश्चय ही N+1 उससे बड़ा होगा।

भारतीय तो बड़ी सख्याओं के पिछे पागल रहे है। भारतीय ग्रंथो मे तो लक्ष(10⁵), करोड़(10⁷), अरब(10⁹) से लेकर पद्म(10¹⁵), शंख(10¹⁷), महाशंख(10¹⁹) से लेकर असंख्येय(10¹⁴⁰) तक की संख्याओं का उल्लेख है। कुछ ग्रंथो मे इससे बडी़ संख्याओं का उल्लेख भी है।

वर्तमान मे प्रयुक्त बड़ी संख्याओं मे  गूगोल (googol) है, इसका मान 10¹⁰⁰ है। अर्थात 10 के पिछे 100 शून्य। यह इतनी बड़ी संख्या है कि इससे मानव शरीर के परमाणुओं की गिनती की जा सकती है। (खोज इंजिन google स्पेलिंग की गलती का परिणाम है।)

इससे बड़ी संख्या गूगोलप्लेक्स है, जो कि 10^googol है। यह इतनी बड़ी संख्या है कि इस संख्या के एक अंक को लिखने के लिये एक बिंदु का प्रयोग हो तो अब तक का ज्ञात ब्रह्माण्ड इसके लिए छोटा पड़ेगा!

क्या आप इससे बड़ी संख्या सोच सकते है ? आप कहेंगे कि इससे बड़ी संख्या हमारे किस कार्य की है। लेकिन एक गणितज्ञ ऐसा नही कहेगा, क्योंकि गणित मे प्रयुक्त एक संख्या इससे बड़ी है, इसे ग्राह्म की संख्या (Grahm's Number) कहते है। इस संख्या को लिखना असंभव है। इस संख्या के अंकों को लिखने के लिये यदि हम प्लैंक दूरी(1.616199×10⁻³⁵ मीटर) मे एक अंक को लिखे तब भी समस्त ज्ञात ब्रह्माण्ड इसके लिये कम है।

किसी गणितज्ञ से यह प्रश्न पुछने पर उसका उत्तर होगा, अनंत, अपरिमीत, infinity! अनंत (Infinity) का अर्थ होता है जिसका कोई अंत न हो। इसको ∞ से निरूपित करते हैं।

यदि ∞ सबसे बड़ी संख्या है, तब ∞+1 का क्या ? क्या ∞ + 1 उससे बड़ी संख्या नही है ?

एक उदाहरण लेते है :

हिल्बर्ट का अनंत होटल (Infinity Hotel) 

इस होटल मे अनंत कमरे है, सभी कमरे भरे हुये है अर्थात सभी कमरे मे यात्री ठहरे हुये हैं। आप सोचेंगे कि इस होटल मे एक और यात्री ठहरने आया तो किसी सीमित कमरे के होटल की तरह इस होटल मे उसे कमरा नही मिलेगा क्योंकि सभी कमरे मे यात्री ठहरे हुये है। लेकिन क्या यह सत्य है ?

मान लेते है कि हम कमरा 1 के यात्री को कमरा 2 मे भेजते है, कमरा 2 के यात्री को कमरा 3 मे। अर्थात किसी कमरा N के यात्री को कमरा N+1 मे भेज देते है। अब कमरा 1 रिक्त है। हम उस मे नये यात्री को ठहरा सकते है।

∞ + 1 =∞

यदि उस होटल मे दो नये यात्री आ गये तब क्या उन्हे कमरा मिलेगा ?

अब हम कमरा 1 के यात्री को कमरा 3 मे जाने कहेंगे। कमरा 2 के यात्री को कमरा 4मे.... कमरा N के यात्री को कमरा N+2 मे। अब हमारे पास कमरा 1,2 खाली है, जिसमे 2 यात्री आ जायेंगे।

∞ +2 =∞

यदि उस होटल मे अनंत नये यात्री आ गये तब क्या उन्हे कमरा मिलेगा ?

अब हम कमरा 1 के यात्री को कमरा 1+∞ मे जाने कहेंगे। कमरा 2 के यात्री को कमरा 2 + ∞ मे.... कमरा N के यात्री को कमरा N+∞ मे। अब हमारे पास ∞ कमरे खाली है, जिसमे ∞ यात्री आ जायेंगे।

 ∞ + ∞ = ∞

अब आप के लिये एक प्रश्न

 ∞ - ∞ = ?

क्या है इसका उत्तर ? 0 (शून्य)! एक बार और सोचीये, उपर के समीकरणों पर ध्यान दिजीये! इसका उत्तर अपरिभाषित (indeterminant) है, क्योंकि यह 0,1,2,3,....,∞ या ऋणात्मक भी हो सकता है।

अब आप सोचेंगे की यह क्या बकवास है? यह सब कुछ विचित्र, मुर्खतापूर्ण  लग रहा है, इसलिए एक गणितज्ञ ने चिढ़कर कहा था कि

गणित मे भगवान और अनंत के लिए कोई जगह नही है ?

भगवान से याद आया कि उसे शून्य माना जाये या अनंत ? है तो दोनो ही निराकार, अपरिभाषित!

चलते चलते एक और प्रश्न क्या ब्रह्माण्ड ∞ (अनंत) है ?

(ध्यान दीजिए मैने ब्रह्माण्ड कहा है, अंतरिक्ष नही!)

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